В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD и медиана CE, а точки K и L являются проекциями на сторону АС точек D и E соответственно, причем АК=4 КС, AL=3/7 LC

a) Докажите, что AB=AC

б) Найдите отношение AD/CE

Проведем высоту BH и обозначим KC=x, LC=y. Тогда AK=4x, AC=AK+KC=5x, AL=3y/7, 5x=y+3y/7 откуда y=LC=7x/2, AL=3x/2, AH=2AL=3x (т. к. EL - ср. линия тр. ABH), KH=AK-AH=4x-3x=x=KC, значит BD=DC (т. к. DK||BH), т. е. AD - медиана и биссектриса, т. е AB=AC=5x.

EL=DK=√ (AE²-AL²) = √ ((5x/2) ² - (3x/2) ²) = 2x (т. к. ED - ср. линия ABC)

AD=√ (AK²+DK²) = √ ((4x) ² + (2x) ²) = 2x√5

CE=√ (LC²+EL²) = √ ((7x/2) ² + (2x) ²) = (x√65) / 2

AD/CE=4/√13.