Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы, равен R. Найдите высоту этой призмы, зная, что ее диагональ образует с боковой гранью угол a.

Рассмотрим диагональное сечение призмы, оно будет представлять из себя прямоугольник вписанный в окружность радиуса R, так как диагональ призмы будет являться его диаметром, то D = 2R

угол, который образует диагональ призмы с боковой гранью, равен углу, который образует диагональ призмы с диагональю боковой грани (так как последняя является ее ортогональной проекцией)

теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей черз диагональ призмы и диагональ боковой грани призмы: это сечение - прям. треугольник.

находим диагональ боковой грани:

d = cosα * D = 2R * cosα

находим ребро основания из того же прямоуг. треугольника:

l = sinα * D = 2R * sinα

высота нашей призмы равна боковой грани, а ее мы можем найти пот. Пифагора, зная d и l:

h = √ (d² - l²) = √ (4R² * cos²α - 4R² * sin²α) = 2R√ (cos²α - sin²α)