В прямоугольном треугольнике один катет больше другого в 3 раза высота разбивает гипотенузу на отрезки один больше второго на 8 найдите площадь этого треугольника

В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=3 АС, высота АН делит гипотенузу ВС на отрезки ВН и НС (ВН=НС+8).

По т. Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9 АС²+АС²=10 АС²,

ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2 НС+8.

Значит АС√10=2 НС+8, откуда АС = (2 НС+8) / √10.

По формуле высота прямоугольного треугольника

АН=АВ*АС/ВС=3 АС²/АС√10=3 АС/√10=3 (2 НС+8) / 10=0,6 НС+2,4 или

АН²=ВН*НС = (НС+8) НС=НС²+8 НС.

Приравниваем (0,6 НС+2,4) ²=НС²+8 НС;

0,36 НС²+2,88 НС+5,76=НС²+8 НС;

0,64 НС²+5,12 НС-5,76=0;

НС²+8 НС-9=0.

D=64+36=100,

НС = (-8+10) / 2=1.

Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10,

высота АН=0,6*1+2,4=3.

Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15