Равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника АВС равна 9√2, угол А = 45 градусов. Прямая, проходящая через точку и середину АС, пересекает сторона ВА в точке М. Найдите площадь треугольника ВМС

Сделаем построение по условию.

Пусть боковая сторона АС=а

На основании данных (Площадь треугольника АВС равна 9√2, угол А = 45 градусов.)

Площадь по формуле S=1/2*a^2*sinA

Получаем квадрат боковой стороны АС^2=а^2 = 2S/sinA

Пусть прямая, проходящая через точку О и середину АС пересекает АС в точке К АК=КС

, тогда ОК - серединный перпендикуляр, проведенный к хорде АС

Рассмотрим треугольник АМК. Углы АКМ=90 КАМ=45 АМК=45 (180-90-45)

Т. е. треугольник АМК. прямоугольный, равнобедренный

Тогда АК=МК = 1/2 АС МК - высота в треугольнике АМС

Площадь треугольника S (АМС) = 1/2*МК*АС=1/2 * (1/2 АС) * АС=1/4*АС^2=1/4*a^2=1/4*2S/sinA =

=1/4*2*9√2/sin45=1/4*2*9√2 / (√2/2) = 9

Тогда площадь треугольника S (ВМС) = S (ABC) - S (AMC) = 9√2-9=9 (1-√2)