В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

Выясним соотношения между катетами и гипотенузой треугольника. Пусть гипотенуза равна 2 х, тогда один катет равен х (тот, что лежит против угла в 30 гр.), а другой 2 х · cos 30 = 2x·0.5√3 = x√3/

Радиус вписанной в прямоугольник окружности равен

r = (a + b - c) : 2, где а и b - катеты, а с - гипотенуза.

r = (х + х√3 - 2 х) : 2 = 0,5 х (√3 - 1)

0,5 х (√3 - 1) = 4

Отсюда х = 8 / (√3 - 1)

Периметр треугольника: Р = 2 х + х + х√3 = х (3 + √3). Полупериметр р = 0,5 х (3 + √3)

Площадь треугольника S = r·p = 4·0,5 х (3 + √3) = 2 х (3 + √3)

Подставим х = 8 / (√3 - 1) и получим

S = 2· (3 + √3) ·8 / (√3 - 1)

S = 16√3· (√3 + 1) / (√3 - 1)