Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В

здесь работает признак равенства треугольника.

соединим точку A и x, ну и B и x соответственно тоже, образовалось 2 треугольника:

AOX и BOX. стороны АО и ВО равны по условию (точка О середина АВ), а так-же присутствует общая сторона ОХ, ну и углы при вершине О у этих двух треугольников по 90 град. (ОХ-перпендикуляр по условию) = > эти треуг. =

=>соответственные стороны у них = из этого можно сделать прямой вывод, что АХ=ВХ

=> этот значок не улыбка, он обозначает слово ''следовательно'' (ну так, на всякий случай)