Из шара радиусом 6 см вырезан цилиндр наибольшего объема. Найдите радиус основания цилиндра

Другими словами надо найти радиус основания вписанного в шар цилиндра. Задача на экстремум. R-радиус шара

Объем данного цилиндра с неизвестным радиусом r и высотой

V=pi*H*r^2.

Как известно о севым сечением вписанного цилиндра будет прямоугольник с основанием 2r, высотой H и диагональю 2R.

Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через его высоту и радиус шара, используя теорему Пифагора:

r^2 = R^2 - (H/2) ^2.

Зависимость объёма вписанного цилиндра от высоты принимает вид:

V (H) = pi (R^2 - (H/2) ^2) H = 10,25pi (4R^2-H^2) H = 0,25pi (4R^2*H-H^3) (0 < H < 2·R)

Найдем производую функции V (H) :

V' (H) = 0,25pi (4R^2-3H^2)

V' (H) = 0

0,25pi (4R^2-3H^2) = 0

4R^2-3H^2=0

H^2 = (2/3) R^2

H=R√ (2/3) (отрицательный не входит в область определения)

r^2 = 2R²/3; r=R√ (2/3)

r=6√ (2/3) = 6√ (2/3) : 2/3=9√ (2/3)