1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, равна 16 см. Вычислить площадь этого треугольника, если длина описанной окружности равна 25 см.

2. В треугольнике две боковые стороны равны 30 см и 40 см, а высота, проведенная к третьей стороне равна 24 см. Вычислить медиану треугольника, которая проведена к третьей стороне.

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, равна 16 см. Вычислить площадь этого треугольника, если длина описанной окружности равна 25πсм.

Ответ:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и высотой и медианой.

Длина описанной окружности равна 2*π*R=25πсм. Отсюда R=12,5 см.

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника R = a²/√ (4a²-b²), где b - основание, а-сторона.

Высота, данная нам, равна по Пифагору √ (a²-b²/4), где b - основание, а-сторона. То есть 2h = √ (4a²-b²) = 32 см.

Подставляем в формулу для R: 12,5=a²/32. Отсюда а²=400 см²

Тогда b² = a²-h² = 400-256=144. Основание равно b=12cм.

Искомая площадь равна 0,5*b*h = 0,5*12*16 = 96cм²

2. В треугольнике две боковые стороны равны 30 см и 40 см, а высота, проведенная к третьей стороне равна 24 см. Вычислить медиану треугольника, которая проведена к третьей стороне.

Ответ:

По Пифагору часть третьей стороны (основание), прилегающая к стороне 30 см, равна √ (30²-24²) = 18 см.

По Пифагору часть третьей стороны (основание), прилегающая к стороне 40 см, равна √ (40²-24²) = 32 см.

Третья сторона равна 50 см.

Cos угла, образованного стороной 30 см и основанием, равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: 18/30 = 0,6.

По теореме косинусов квадрат медианы равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, то есть: 30²+25²-2*30*25*Cos (угол между этими сторонами) = 900+625-900 = 625, то есть медиана равна 25 см.