Дано dabc правильная треугольная пирамида о центр вписанного шара, M - точка касания вписанного шара, DO:OO1=2:1. Найдите угол1

Так как пирамида треугольная, то рассмотрим её сечение по апофеме. Это прямоугольный треугольник, катеты которого - высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза - апофема.

Обозначим точку касания шаром боковой грани пирамиды буквой К.

По условию касания ОО ₁ = ОК.

По условию задания ДО / ОО₁ = 2 / 1, поэтому ДО / ОК = 2.

В треугольнике ДОК синус угла ОДК равен 1/2, поэтому этот угол равен 30°.

Угол при основании равен 90 - 30 = 60°.