На Стороне AB треугольника ABC точка O взята так что CO=OB и CA=OA. Найти угол ABC, если угол ACB=45 градусов.

Из условий AOC и COB равнобедренные треугольники. Обозначим углы при основании треугольника АОС буквой β, а углы при основании треугольника СОВ буквой α. Тогда угол АСВ который равен АСО + ОСВ равен α+β = 45 (по условию). * *

Теперь рассмотрим весь треугольник АВС. Исходя из того, что сумма внутренних углов в треугольнике 180 градусов выразим угол АСВ как 180 - (САВ + АВС) = 180 - (САВ + α) = 45 (по условию). *

Теперь выразим угол САВ из треугольника АСО исходя из вышеупомянутой аксиомы. Тогда САО=САВ=180-2β.

Теперь подставим значение САО в выражение угла АСВ (помечено звездочкой) Получим:

180 - (180-2β+α) = 45 ⇒ 2β-α=45

Вспоминаем еще одно выражение угла АСВ (помечено двумя звездочками) и получим систему:

2β-α=45

α+β=45

Из второго равенства выражаем α=45-β и подставляя в первое равенство получаем после преобразований: 3β=90 ⇒ β=30 и α=15.