В остроугольном треугольнике ABC‍ из вершин A‍ и C‍ на стороны BC‍ и AB‍ опущены высоты AP‍ и CQ.‍ Найдите сторону AC,‍ если известно, что периметр треугольника ABC‍ равен 15, периметр треугольника BPQ‍ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ,‍ равен

Question

Геометрия

Егуня

23 ноября, 17:37

В остроугольном треугольнике ABC‍ из вершин A‍ и C‍ на стороны BC‍ и AB‍ опущены высоты AP‍ и CQ.‍ Найдите сторону AC,‍ если известно, что периметр треугольника ABC‍ равен 15, периметр треугольника BPQ‍ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ,‍ равен

+4

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Лизура · Answer 1

Точка О - точка пересечения высот АР и СQ.

Рассмотрим прямоугольные ΔАQO и ΔCPO: у них <АQO=
Прямоугольные ΔAРВ‍ и ΔСQB‍ подобны по 1 признаку (по 2 углам <В - общий, <ВАР=<ВСQ), значит ВР/ВQ=АВ/ВС или АВ/ВР=ВС/ВQ.

Исходя из этого ΔАВС подобен ΔРВQ по 2 признаку (по двум сторонам АВ/ВР=ВС/ВQ и углу между ними <В - общий). Т. к. ΔАВС остроугольный, то <В меньше 90°. Тогда из прямоугольного ΔАРВ находим коэффициент подобия k=BP/AB=cos B.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: Равс/Ррвq=15/9=5/3. Тогда cos B=3/5.

У подобных треугольников отношение радиусов или диаметров описанных окружностей равно коэффициенту подобия, значит радиусы Rрвq/Rавc=3/5

Rавc=5Rрвq/3=5*9/5*3=3.

Исходя из формулы радиуса описанной окружности Rавc=АС/2sin B, найдем АС=Rавc*2sin B=Rавc*2 √ (1-соs² B) = 3*2*√ (1-9/25) = 3*2*4/5=4,8

Ответ: 4,8