Вершины правильного треугольника АВС с периметром 18 см лежат на сфере. Найдите площадь сферы, если расстояние от ее центра до плоскости треугольника = 2

Если хорошо посмотреть на правильный (равносторонний) Δ АВС и точку О (центр сферы. то увидишь правильную пирамиду, у которой боковое ребро - радиус сферы. Высота пирамиды = 2 и сторона основания = 6

Надо найти боковое ребро (оно = R и S = 4πR^2)

Смотрим только на пирамиду. Проведена высота ОК. Точка К - это точка пересечения медиан (высот, биссектрис). Медианы в равностороннем треугольнике делятся в отношении 1:2. Ищем медиану по т. Пифагора

m^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27

m = 3√3

Боковое ребро можно найти из Δ АО К. АО ищем, ОК = 2, АК = 2/3·3√3=2√3/3 = R сферы.

Ищем площадь сферы.

S = 4π R^2 = 4π (2√3/3) ^2=16π/3