Окружность с центром O, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катета BC в точке M. Луч BO пересекает катет AC в точке K. Найдите AK, если CM = 4, BM = 8.

1. АВ пересекает Окр (O; r) = D

2. ВС и ВА, СА и СВ, АС и АВ - касательные к окружности.

По свойству касательных (если из некотрой точки S проведены две касательные a и b к окружности, то отрезки касательных от точки S до точек касания А и В равны) BM=BD, КС=CM, AK=AD

2. Катет СВ=СМ+ВМ=4+8=12

3. Выразим отрезки касательных АК и АD через х.

Катет АС=КС+х, КС=4+х гипотенуза АВ=ВD+х, АВ=8+х

4. По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + СВ²

(8+х) ² = (4+х) ² + 12²

64+16 х + х² = 16 + 8 х + х² + 144

16 х + х² - 8 х - х² = 16 + 144 - 64

8 х = 96

х = 12

Следовательно, АК=12

Ответ: АК=12