Из точки M к окружности проведены 2 касательные к окружности MN и MP. Докажите что MO - биссектриса угла NMP. Докажите что прямая MO перпендикулярна MP и делит NP пополам

Все просто - касательная к окружности - это кратчайшее растаяние между точкой вне окружности и точкой на окружности лежащей на прямой, которая не пересекает эту окружность - то есть не делает сечение.

Таким образом, из любой точки вне окружности можно провести два одинаковых отрезка, которые будут касательными. Не больше и не меньше.

Треугольник НМП равнобедренный. Отрезки НО и ПО являются радиусами одной окружности и по этому равны. Поскольку треугольники ОНМ и ОПМ подобны и равны, все их соответственные углы равны.

Тогда углы НМО=ПМО - > МО биссектриса.

Треугольник НМП равнобедренный, а ОМ является его продленной высотой, которая является в таком треугольнике и медианой и биссектрисой. А то, что МО - биссектриса данного угла мы доказали чуть выше. Таким образом НП - основание равнобренного треугольника, которое медиана угла М делит пополам.

НО является высотой треугольника ОНМ, так как это кратчайшее растояние от О до НМ - таким образом высота опущеная к данному основанию НМ из точки О - образует прямой угол. Как и в случае с другой прямой.