Треугольник АВС задан координатами своих вершин а (-5 4 2) в (2 3 1) с (-3 - 1 - 3) найти : a) периметр треугольника АВС б) косинус угла между сторонами АВ и ВС в) длину медианы ВМ г) длину средней линии НМ║ ВС д) координаты точки пересечения медиан е) считая, что точка А, В, С - три вершины параллелограмма, найти координаты четвёртой вершины.

1) Периметр

найдем длины всех сторон

АВ = √ (2+5) ^2 + (3-4) ^2 + (1-2) ^2 = √49+1+1=√51

BC = √ (-3-2) ^2 + (-1-3) ^2 + (-3-1) ^2 = √25+16+16 = √57

AC = √ (-3+5) ^2 + (-1-4) ^2 + (-3-2) ^2 = √4+25+25 = √54

P = √51+√57+√54

2) cosa = ?

AB={7; -1; -1}

BC={-5; -4; -4}

cosa = (7*-5+1*4+1*4) / √51*57 = - 27/√2907

3) BM медиана она будет серединой АС

AC/2 = {-3-5/2; - 1+4/2; - 3+2/2} = {-4; 3/2; - 1/2 }

BM=√ (2+4) ^2 + (3-3/2) ^2 + (1+1/2) ^2 = √40.5

4) средняя линия треугольника параллельна третей стороне и равна ее половине

то есть HM=BC/2 = √57/2

5) найдем уравнения медиан

назовем точки пересечения с сторонами; A1. B1. C1 соотвественно

А1 - ВС

В1 - АС

C1 - AB

A1 = {-3+2/2; - 1+3/2; - 3+1 / 2} = {-1/2; 1; - 1 }

B1 = {-3-5/2; - 1+4/2; - 3+2/2 } = { - 4; 3/2; - 1/2 }

C1 = { 2-5/2; 3+4/2; 1+2/2 } = {-3/2; 7/2; 3/2}

теперь направляющие вектора

АА1 = {-1/2 + 5; 1-4; - 1-2 } = {4.5; - 3; - 3 }

BB1 = {-4-2; 1.5-3; - 0.5-1} = {-6; - 1.5; -1.5 }

CC1 = {-1.5+3; 3.5+1; 1.5+3} = { 1.5; 4.5; 4.5}

теперь сами уравнения

A (-5 4 2) B (2 3 1) C (-3 - 1 - 3)

AA1 = (x+5) / 4.5 = (y-4) / - 3 = z-2 / - 1

BB1 = (x-2) / - 6 = (y-3) / - 1.5 = z-1/-1.5

CC1 = (x+3) / 1.5 = (y+1) / 4.5 = (z+3) / 4.5

(x+5) / 4.5 = (y-4) / - 3 = z-2 / - 1

(x-2) / - 6 = (y-3) / - 1.5 = z-1/-1.5

(x+3) / 1.5 = (y+1) / 4.5 = (z+3) / 4.5

{-3x-4.5y-13.5z = 6

{x-4y-4z=10

{3x-y-z = - 7

система