Выведи выведите формулу для вычисления координат середины отрезка

Пусть у нас есть отрезок AB. Считаем, что он расположен в 1-й четверти координатной сетки и не параллелен осям координат (прочие положения отрезка рассматриваются аналогично).

Координаты концов отрезка: A (x₁, y₁) и B (x₂, y₂).

Допустим, что x₂>x₁.

Пусть C - середина отрезка AB с координатами (x, y).

Требуется выразить x и y через координаты точек A и B.

Определение координаты x.

Из точек A, B и C отпустим перпендикуляры на отрезок OX, точки пересечения с осью OX обозначим A₁, B₁ и C₁.

AA₁⊥OX

BB⊥OX

CC⊥OX

Т. к. C - середина отрезка AB, то AC=BC. Т. к. AA₁||BB₁||CC₁, то по теореме Фалеса A₁C₁=B₁C₁.

Значит, C₁ - середина отрезка A₁B₁.

Координаты точки A₁ равны (x₁; 0).

Координаты точки B₁ равны (x₂; 0).

Координаты точки C₁ равны (x; 0).

Длина отрезка A₁C₁ равна x-x₁.

Длина отрезка B₁C₁ равна x₂-x.

Эти длины равны, т. е. x-x₁=x₂-x ⇔ 2x=x₁+x₂ ⇔ x = (x₁+x₂) / 2.

Т. о., координата x середины отрезка есть полусумма координат x концов отрезка.

Определение координаты y.

Выполняется аналогично, выполняя проекцию отрезка AB на координатную ось OY. y = (y₁+y₂) / 2

Т. о., координаты середины отрезка AB есть полусумма соответствующих координат концов отрезка.

C (x; y) = ((x₁+x₂) / 2; (y₁+y₂) / 2)