Сторону AB треугольника ABC продолжили за вершину B и выбрали на луче AB точку A1 так, что точка B - середина отрезка AA1. Сторону BC продолжили за вершину C и отметили на продолжении точку B1 так, что C - середина BB1. Аналогично, продолжили сторону CA за вершину A и отметили на продолжении точку C1 так, что A - середина CC1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна 1.

Соединим точки А1 и С, В1 и А, С1 и В.

АА1, ВВ1 и СС1 являются медианами треугольников SΔСС1 А1, SΔAA1 В1, SΔВВ1 С1 соответственно.

По свойствам медианы, которая делит треугольник на два треугольника равной площади, имеем равенство площадей треугольников

SΔAC1A1=SΔAA1C SΔBA1B1=SΔBB1A SΔCB1C1=SΔCC1B

В свою очередь ВС, АС, ВА являются медианами в треугольниках SΔAA1C, SΔBB1A, SΔCC1B соответственно, следовательно также делят эти треугольники на два треугольника с равными площадями.

Отсюда площади каждого из этих треугольников равны 2.

А площадь всего треугольника А1 В1 С1=2+2+2+1=9