Высота AK, биссектриса BL и медиана CM треугольника АВС пересекаются в точке О, причем АО = ВО. Докажите, что треугольник АВС - равносторонний.

Из условия следует что треугольник AOB-равнобедренный а OM-его медиана проведённая к основанию. Следовательно OM-высота треугольника AOB. Тогда и медиана CM треугольника ABC является его высотой, значит, этот треугольник - равнобедренный: CA=CB. Из равнобедренности треугольников ACB и AOB следуют равенства углов при их основаниях, значит угол OBC = угол OAC. Поскольку BL-биссектриса угла ABC то AK-биссектриса угла BAC. По условию AK-высота треугольника ABC поэтому AB=AC. Таким образом AB=BC=AC то треугольник ABC-равносторонний.