1. Основы прямоугольной трапеции, в которую можно вписать круг, равняется 21 и 28 см. Чему равняется площадь этой трапеции?

2. Площадь прямоугольного треугольника в 4 раза меньше от площади квадрата, построенного на гипотенузе. Найдите острые углы этого треугольника.

1) Обозначим радиус вписанной в прямоугольную трапецию окружности за х.

Свойство трапеции, в которую вписана окружность, - сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Высота трапеции равна 2 х.

Наклонная боковая сторона равна √ ((2 х) ² + (28-21) ²) = √ (4 х²+49).

Поэтому 21+28 = 2 х + √ (4 х²+49).

Перенесём 2 х влево и возведём в квадрат.

(49-2 х) ² = 4 х²+49.

2401 - 196 х + 4 х² = 4 х²+49.

196 х = 2401 - 49 = 2352.

х = 2352/196 = 12 см.

Высота трапеции равна 2 х = 2*12 = 24 см.

Площадь трапеции равна 24 * ((21+28) / 2) = 24 * 24,5 = 588 см ².

2) Примем один катет за х, второй за у.

Квадрат гипотенузы равен х²+у² (это площадь).

Площадь треугольника равна (1/2) ху.

По заданию х²+у² = 4 * ((1/2) ху).

х²+у² = 2 ху.

х² - 2 ху + у² = 0.

(х - у) ² = 0.

х - у = 0.

х = у.

Это равнобедренный треугольник, его острые углы равны по 45 градусов.