Найдите отрезки на которые гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 делится точкой косания вписаной окружности

Пусть радиус вписанной окружности x см, тогда (см. рис) один катет равен (5+x) см, второй - (12+x) см.

Записываем теорему Пифагора:

(5+x) ² + (12+x) ² = (5+12) ²

Раскрывая скобки, перенося все члены в левую часть и приводя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

x² + 17x - 60 = 0

(x-3) (x+20) = 0

x=3 (подходит) или x=-20 (отрицательное значение ⇒ не подходит)

Итак, радиус вписанной окружности равен 3 см, тогда первый катет равен 3+5 = 8 (см), второй катет: 3+12 = 15 (см).

Ответ 8 и 15