Медианы АМ и ВН треугольника АВС перпедикулярны и пересекаются в точке Р. Доказать, что СР=АВ.

Пусть продолжение прямой CP за точку Р пересекает сторону АВ в точке N. Т. к. Р - точка пересечения двух медиан, то СN - вынуждена тоже быть медианой (все 3 медианы треугольника пересекаются в одной точке). Т. е. N - середина АВ, т. е. РN - медиана прямоугольного треугольника АРВ. Значит АN=ВN=NР, т. е. АВ=2 РN. С другой стороны, т. к. точка Р делит медиану СN в отношении 1:2 (свойство медиан), то СР=2 РN. Значит, СР=АВ.