На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами 4m и 5m. На вершине горки массой 4m на высоте h лежит монета массой m (рис. 14). От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки. На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой 5m? Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхностей горок, а поступательно движущиеся горки - от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

Пусть начальная высота монетки H, конечная высота монетки h.

Энергия перед началом движения: E = m g H

Импульс перед началом движения: P = 0

E и P не должны меняться в процессе движения.

Энергия, после спуска с первой горки: E = (m/2) v^2 + (4m/2) u^2

Импульс, после спуска с первой горки: P = m v - 4 m u

(u - скорость движения первой горки после спуска монетки)

Два уравнения и две неизвестные: v, u

(m/2) v^2 + (4m/2) u^2 = m g H

m v - 4 m u = 0

из второго уравнения u = 4v

подставим в первое:

(m/2) 16 u^2 + 4 (m/2) u^2 = m g H

20 u^2 = 2 g H

u^2 = g H / 10

u = sqr (g H/10)

тогда v = 4 sqr (g H/10)

Энергия в момент остановки монетки на второй горке:

E = (m/2) y^2 + (5m/2) y^2 + (4m/2) u^2 + m g h

Импульс в момент остановки монетки на второй горке:

P = - 4 m u + m y + (5 m) y

(y - скорость движения второй горки вместе с монеткой в момент остановки монетки относительно второй горки)

Опять получаем систему из 2 уравнений и двух неизвестных y, h:

(m/2) y^2 + (5m/2) y^2 + (4m/2) u^2 + m g h = m g H

- 4 m u + m y + (5 m) y = 0

из второго уравнения: 6 y = 4 u

y = 2 u / 3

первое уравнение

(m/2) y^2 + (5m/2) y^2 + (4m/2) u^2 + m g h = m g H

3 y^2 + 2 u^2 + g h = g H

подставим y = 2 u/3:

(4/3) u^2 + 2 u^2 + g h = g H

g h = g H - (10/3) u^2

подставим u = sqr (g H/10) :

g h = g H - g H/3

h = (2/3) H

Ответ: монетка поднимется на 2/3 от начальной высоты