В стакане плавает кусочек льда, в который вмерз металлический шарик. Изменится ли уровень воды в стакане после того, как лед растает?

Уровень воды станет ниже, но совершенно не по той причине, какую указал DJ Aux. Если бы монеты не было, то при таянии льда уровень воды остался прежним, а DJ Aux думает, что уровень опустился бы и в этом случае.

Подробнее.

Плавающий предмет всегда вытесняет ровно столько воды, сколько весит сам.

Рассмотрим сначала случай с куском льда без монеты. Кусок льда вытесняет столько воды, сколько весит сам. Растаяв, он превратится в столько воды, сколько он весил. Поэтому эта вода в точности заполнит то место, где из-за льда воды не было. Так что общий уровень воды останется каким был.

А теперь случай с монетой. Лед с монетой вытесняет столько воды, сколько весит система "лед + монета". То есть монета вытесняет столько воды, сколько она весит. Когда лед растает, монета утонет. Ее плотность больше плотности воды, поэтому сама по себе (без поддержки льда) она не может вытеснить столько воды, сколько весит сама (потому и тонет). Таким образом, в результате таяния льда возникшая вода скомпенсирует исчезнувший лед (смотри выше), но монета станет вытеснять меньше воды, чем раньше. Так что уровень воды понизится.