Под каким углом a к горизонту следует бросить камень с

начальной скоростью v = 20 м/с, чтобы за время t = 0,2 с после стар-

та вектор скорости камня:

а) уменьшился по величине на 1,0 м/с,

б) повернулся на угол, равный 1 градусу?

Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, 10 м/с.

Спустя 0,5 с скорость камня стала равной 7 м/с.

На какую максимальную высоту над первоначальным уровнем поднимается камень?

Дано

Vo = 10 м/c

t1 = 0,5 c

V1 = 7 м/c

Найти h

Решение

Разложим скорость V на вертикальную Vy и горизнтальную Vx составляющие.

Где Vx=V*cos (a) ; Vy=V*sin (a)

V=корень (Vx^2+Vy^2)

где a-угол наклона скорости к горизонту.

Запишемуравнения движения камня

Горизонтальная составляющая скорости постоянна во времени

Vx = Vo*cos (a) - const

Sx=Vx*t

Vy=Voy-gt = Vo*sin (a) - gt

Sy = Voy*t - gt^2/2 = Vo*sin (a) * t - gt^2/2

По заданию при t1=0,5 c. V1=7 м/с

V1y=Vo*sin (a) - gt1

Подставим это выражения в формулу полной скорости

V1=корень (V1x^2+V1y^2) = корень ((Vo*cos (a)) ^2 + (Vo*sin (a) - gt1) ^2) =

=корень (Vo^2*cos^2 (a) + Vo^2*sin^2 (a) - 2Vo*g*t1*sin (a) + g^2*t1^2) =

=корень (Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin (a) + g^2*t1^2)

корень (Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin (a) + g^2*t1^2) = V1

Возведем обе части в квадрат и найдем sin (a)

Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin (a) + g^2*t1^2 = V1^2

2Vo*g*t1*sin (a) = Vo^2 + g^2*t1^2 - V1^2

sin (a) = (Vo^2 + (g*t1) ^2-V1^2) / (2Vo*g*t1)

На самой максимальной высоте вертикальная составляющая скорости равна нулю

Vy=0 или Vo*sin (a) - gt = 0

t = Vo*sin (a) / g

Максимальная высота подъема составит

h = Vo*sin (a) t - gt^2/2 = Vo^2*sin^2 (a) / g - g*Vo^2*sin^2 (a) / (2g^2) =

= Vo^2*sin^2 (a) / g - Vo^2*sin^2 (a) / (2g) = Vo^2*sin^2 (a) / (2g)

Подставим в формулу выражение для sin (a)

h = Vo^2*sin^2 (a) / (2g) = Vo^2 * (Vo^2 + (g*t1) ^2-V1^2) ^2 / (2Vo*g*t1) ^2 / (2g) =

= (Vo^2 + (g*t1) ^2-V1^2) ^2 / (g*t1) ^2 / (8g) = (1 / (8g)) ((Vo^2-V1^2) / (g*t1) + gt1) ^2

Подставим числовые значения и найдем h

h = (1 / (8*9,81)) ((10^2-7^2) / (9,81*0,5) + 9,81*0,5) ^2 = 2,98 м

Если принять что g=10 м/с^2

h = (1 / (8*10)) ((10^2-7^2) / (10*0,5) + 10*0,5) ^2 = 2,888 м

Ответ: 2,98 м