Мяч массой m брошен с горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту. Допустим, что в процессе полёта на мяч действует не только сила тяжести, но и сила сопротивления, пропорциональная скорости: F = k*v, k больше 0. Перемещение мяча по вертикали за время полёта от старта до наивысшей точки траектории равно H. На сколько уменьшается время полёта мяча от старта до наивысшей точки траектории при учёте силы сопротивления?

Записываем второй закон Ньютона:

Δp = F Δt, Δt мало, жирным цветом выделены векторные величины

m Δv = (mg - kv) Δt

m Δv = mg Δt - kv Δt

Заметим, что v Δt - это перемещение мяча за время Δt, т. е. Δr.

m Δv = mg Δt - k Δr

Сложим такие уравнения от начала движения до некоторого момента t, заметив, что сумма Δx равно разности конечного значения x и начального:

m (v - v₀) = mgt - k (r - r₀ )

Запишем это уравнение в проекции на ось y:

m (Vy - V0y) = - mgt - k (y - y₀)

В момент, когда мяч будет в наивысшей точке, Vy = 0, y = y₀ + H, t = T:

-m V0y = - mgT - kH

mgT = m V0y - kH

T = V0y / g - kH/mg

Если бы сопротивления не было, время полета мяча до наивысшей точки траектории было бы равно V0y / g, при учете сопротивления оно уменьшается на величину kH / mg.