Пару чисел назовем магической, если числа в паре в сумме делятся на 7. Какое максимальное количество магических пар рядом стоящих чисел может получиться при выписывании всех чисел от 1 до 30 в ряд в некотором порядке?

Числа от 1 до 30 нужно выписать в некотором порядке, не обязательно по возрастанию.

Для поиска магических пар числа условно можно разбить на 4 группы:

1) Числа, кратные 7: 7; 14; 21; 28

Их можно располагать в любом порядке, сумма любых двух соседних чисел будет кратна 7.

В этой группе магических пар рядом стоящих чисел 3.

2) 1; 8; 15; 22; 29 строка А

6; 13; 20; 27 строка В

Сумма любого числа из строки А и любого числа из строки В дает число, кратное 7. Так как в строке А чисел больше, с нее и нужно начать, чередуя числа со строкой В. Например, так

1, 6, 8, 13, 15, 20, 22, 27, 29

В этой группе магических пар рядом стоящих чисел 8.

3) 2; 9; 16; 23; 30 строка Б

5; 12; 19; 26 строка Г

Сумма любого числа из строки Б и любого числа из строки Г дает число, кратное 7. Так как в строке Б чисел больше, с нее и нужно начать, чередуя числа со строкой Г. Например, так

2, 5, 9,12,16,19, 23, 26, 30

В этой группе магических пар рядом стоящих чисел 8.

4) 3; 10; 17; 24 строка Д

4; 11; 18; 25 строка Е

Сумма любого числа из строки Д и любого числа из строки Е дает число, кратное 7. Чередовать их можно, например, так

3, 4, 10, 11, 17, 18, 24, 25

В этой группе магических пар рядом стоящих чисел 7.

Числа из разных групп дать в сумме число, кратное 7, не могут, поэтому на стыке групп магических пар не будет.

Ответ: максимальное количество магических пар

3 + 8 + 8 + 7 = 26

(7,14,21,28), (1,6,8,13,15,20,22,27,29), (2,5,9,12,16,19,23,26,30), (3,4,10,11,17,18,24,25)