Космическая станция массой M = 10 т движется по круговой орбите вокруг Земли на высоте h1 = 200 км. Какую работу совершит двигатель станции против сил гравитации при переводе станции на орбиту высотой h2 = 300 км? Радиус Земли R = 6400 км, ускорение силы тяжести g = 9,8 1 м/с2.

Производится работа на дистанции

L = h₂ - h₁

cо средней силой

F = 0.5mMG (1 / (R + h₁) ² + 1 / (R + h₂) ²),

равная

А = 0.5mMG (1 / (R + h₁) ² + 1 / (R + h₂) ²) (h₂ - h₁)

Учитывая, что

MG = gR²

A = 0.5mgR² (1 / (R + h₁) ² + 1 / (R + h₂) ²) (h₂ - h₁) = 0.5*10000*9.81*6400000² (1/6600000² + 1/6700000²) 100000 = 9 078 000 000 = 9.1 ГДж

примечание

Видно, что из-за неоднородности гравитационного поля Земли, которое приходится учитывать в масштабах расстояний, характерных для орбитальных высот, эта работа меньше работы, исчисляемой для небольших перемещений вблизи поверхности Земли по формуле A = mg (h₂ - h₁) = 9.8 ГДж, каковая формула в данном случае неприменима.