Какую часть скорости света должна составлять скорость частицы, чтобы ее кинетическая энергия была равна ее энергии покоя?

Для тела, обладающего массой m релятивистский импульс p-mv/sqr (1-v^2/c^2) (*) (m-масса тела, v-скорость движения теля, c-скорость света в вакууме).

Полная энергия в состоянии движения (релятивистская энергия тела) E=sqr (p^2c^2+m^2c^4).

Собственная энергия тела в состоянии покоя E0=mc^2.

Кинетическая энергия тела Ек=Е-Е0.

В Вашем условии Ек=Е0, т. е. pc=mc^2. Подставляем выражение для р (*). Находим v/c=1/sqr2.

Вроде так.