Каково соотношение между высотой H горы и глубиной h шахты, если период качания маятника на вершине горы и на дне шахты одинаков?

Соотношение абсурдное, как и условие. Поясним формулами:

Т = 2 Пкор (l/g) - период колебаний математического маятника.

Напишем формулы для ускорения свободного падения для разных высот от центра Земли:

g1 = GM / (R+H) ^2

g2 = GM / (R-h) ^2

Если период не изменился, значит эти значения g должны быть равны.

Приходим к абсурдному соотношению H = - h.

Делаем вывод, что для обеспечения условия задачи, нужно шахту сделать глубиной больше радиуса Земли, то есть пробуриться глубже центра Земли - к антиподам. Разберем эту ситуацию:

Расстояние до центра Земли от нижней точки шахты: h - R.

Получим следующее уравнение:

R+H = h-R

или: h - H = 2R - судите сами: абсурдно это или нет.