На покоящийся шар массы m1 налетает шар массой m2 со скоростью V0. Удар

центральный и абсолютно упругий. Определить при каком соотношении масс шаров налетающий

шар может передать покоящемуся шару наибольшую энергию.

Ясно, что наибольшую энергию налетающий шар передаст в том случае, когда он остановится. исходя из этого предположения из ЗСИ и ЗСЭ нетрудно получить, что m1/m2 = 1. но проверим это более строгим путем

введем параметр m1/m2 = x и найдем, при каком значении x доля энергии, которую отдает налетающий шар, максимальна

запишем систему из закона сохранения импульса и энергии:

m2 v0 = m2 v + m1 u

m2 v0² = m2 v² + m1 u²

распишем разность квадратов во втором уравнении:

m2 v0 = m2 v + m1 u

m2 (v0 - v) (v0 + v) = m1 u²

разделим второе уравнение на первое:

u = v0 + v

подставим полученное уравнение в изначальное уравнение ЗСИ:

m2 v0 = m2 v + m1 v0 + m1 v

v0 (m2 - m1) = v (m1 + m2)

v = v0 (m2 - m1) / (m1 + m2)

теперь найдем долю энергии, которую передает налетающий шар:

w = (E2 - E1) / E1 = (E2/E1) - 1 = ((m2 - m1) / (m1 + m2)) ² - 1

вспомним про наш параметр x = m1/m2 и рассмотрим функцию w (x) :

w (x) = ((1 - x) / (1 + x)) ² - 1

возьмем от нее производную:

w' (x) = 2 * ((1 - x) / (1 + x)) ' * ((1 - x) / (1 + x))

w' (x) = 2 * ((1 - x) / (1 + x)) * ((-1 - x - 1 + x) / (1+x) ²)

w' (x) = 4 (x - 1) / (x + 1) ³

налетающий шар отдаст наибольшую энергию при условии, что w' (x) = 0. это выполняется при x = 1

ч. т. д.