Два электрода в виде металлических шариков радиусом r=5 мм помещены в среде, удельное сопротивление которой 1*10^10 Ом*м. Расстояние между центрами шариков 10 см. Найти сопротивление среды между электродами

Дано:

r = 5 мм = 5•10 - 3 м,

А = 10 см = 1•10 - 1 м,

ρ = 1•10 10 Ом•м.

Найти R.

Решение.

Среда слабо проводящая, можно считать, что проводимость шариков yfмного больше проводимости среды. Тогда можно спокойно пренебречь изменениями потенциала внутри шарика и считать, что все точки шарика имеют один и тот же постоянный потенциал, который обозначим φ 1 и φ 2.

Полный ток между шариками I = Φ•j dS = (1 / ρ) ΦE dS.

По теореме Гаусса Φ dS = q / εε 0 = C (φ 1 - φ 2) / εε 0,

где С - емкость конденсатора, получившегося из двух шариков, ε 0 - электрическая постоянная.

Тогда получим I = C (φ 1 - φ 2) / ρεε 0. [1]

В тоже время по закону Ома I = (φ 1 - φ 2) / R. [2]

Из уравнений [1] и [2] можно вывести равенство С (φ 1 - φ 2) / ρεε 0 = (φ 1 - φ 2) / R.

Отсюда получаем R = ρεε 0 / C. [3]

Также понятно, что емкость конденсатора, составленного из двух шаров радиусом r, находящихся в среде с проницаемостью ε на расстоянии А >> друг от друга равна:

С = 2πεε 0 r. [4]

Подставляем [4] в [3] и получаем:

R = ρεε 0 / C = ρεε 0 / 2πεε 0 r = ρ / 2πr.

Остается только подставить значения в ответ.

R = 1•10 10 / 2•3,14•5•10 - 3 ~3•10 11 Ом.

Ответ: R = 3•10 11 Ом.