Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему "мертвую петлю" радиусом R. С какой высоты h шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке петли?

В верхней точке петли потенциальная энергия шарика, движущегося с высоты h, превращается в кинетическую энергию - движения и потенциальную - положения.

mgh = (mv^2) / 2 + mg2R.

Разделив на mg, получим: h = v^2/2g + 2R.

А скорость определим из условия равенства силы тяжести и инерции.

mg = (mv^2) / R. Откуда v^2 = Rg.

Тогда h = Rg/2g + 2R = 5/2 R.