Плотность некоторой планеты такая же как у земли а радиус вдвое меньше найдите ускорение свободного падения на этой планете

Вспоминаем закон всемирного тяготения. Два тела притягиваются друг к другу с силой:

F = G*m1*m2/r^2, где G - гравитационная постоянная, m1, m2 - массы тел, r - расстояние между ними. В случае с телом на поверхности одна масса будет массой тела, а другая - массой планеты.

Для силы тяжести на поверхности земли нам более привычна формула:

F = m*g, где m - масса тела на поверхности, а g - ускорение свободного падения. Однако, как мы видим, значение g берётся не из воздуха, а может быть выражено, если в исходной силе тяготения всё, кроме массы тела, заменить:

g = G*m1/r^2

Пусть это будет выражение для Земли, а для этой некоторой планеты масса будет mx, радиус rx, ускорение свободного падения gx. Тогда выражение примет вид:

gx = G*mx/rx^2

Про соотношение радиусов мы знаем (rx = r/2), а вот соотношение масс придётся рассчитать. Раз плотности одинаковы, соотношение масс будет определяться соотношением объёмов, а оно, в свою очередь - соотношением радиусов (считаем, что планеты у нас шарообразны). Вспоминаем формулу объёма шара через радиус:

V = 4/3 * П * r^3

Таким образом, если V - это объём Земли, то объём некоторой планеты Vx:

Vx = 4/3 * П * rx^3 = 4/3 * П * (r/2) ^3 = 4/3 * П * r^3/8 = V/8

Объём планеты в восемь раз меньше объёма Земли, значит и масса в восемь раз меньше:

mx = m1/8

Подставляем известное нам в выражение для gx:

gx = G*mx/rx^2 = G * (m1/8) / (r/2) ^2 = G*m1*4 / (8*r^2) = G*m1 / (2*r^2) = g/2

Таким образом, при уменьшении радиуса вдвое ускорение свободного падения уменьшится тоже вдвое.