Имеют ли грибы ядро?

Нет

так как гриб имеет только корень, ствол и шляпу. если бы гриб имел ядро он бы был всегда тёплым.

Да, имеют

Ядро в клетках грибов четко обособлено, снабжено оболочкой и содержит ядрышко. У грибов разных систематических групп число ядер в клетке неодинаково. Хорошо развитый несептированный мицелий низших грибов содержит много ядер. У большинства сумчатых грибов (за исключением мучнисто росяных) и базидиомицетов клетки одно - или двуядерные, в зависимости от фазы развития. Ядра обычно мелкие, в среднем 2-3 мкм (в сумках и базидиях - более крупные), круглой, овальной или веретеновидной формы, однако форма их не постоянна.