В каких случаях пишится a lot и lots

Если речь идёт о количественных местоимениях, то это синонимы, обозначающие большое количество/число людей, предметов, вещей. Используются как с исчисляемыми именами существительными, так и с неисчисляемыми.

Если рассматривать наречие a lot, то имеется ввиду очень часто или очень много. Как правило, оно ставится в конце предложения и никогда не употребляется перед именем существительным.