Почему What do you want to do? правильно, а What do you want do? Что в данном случае дает do

What do you want to do?

первый do-вспомогательный глагол для вопросительных предложений в настоящем неопределенном времени

второй do-смысловой глагол

What do you want do? неверно составлен вопрос, так как после глагола want глагол употребляется с частицей to

Let is to do that.-неверно

let us do it-в конструкции let's глагол употребляется без частицы to

Do это вспомогательный глагол present simple и по этому когда ты задаёшь вопрос ты обязательно должна его ставит и при ответе (когда отвечаешь да или нет) тоже должна поставить

He she it - does

You, they, we, I-do