8. В партии из 300 сапог 150 левых и 150 правых, кроме того, по 100 штук каждого из трех размеров. Докажите, что есть по крайней мере 50 годных пар обуви.

Ответ. В каждом размере либо левых и правых поровну, либо каких-то больше. Если левых и правых поровну, то их по 50 - вот мы и нашли 50 годных пар. Пусть в каждом размере или левых или правых больше. Можно считать, что в двух размерах больше левых, а в еще одном больше правых. (Во всех трех размерах левых быть больше не может, так как всего левых и правых сапог поровну).

Введем обозначения, пусть в первых двух размерах правых A и B, а левых тогда 100-A и 100-B. В третьем размере левых C, а правых 100-С. Так как в первых двух размерах правых меньше, то там можно найти соответственно A и B пар, а в третьем размере левых меньше, значит там C годных пар. Мы еще не воспользовались условием, что всего 150 правых сапог. Это условие означает, что A+B + (100-C) = 150, Откуда A+B=50+C50. Значит, всего пар годных сапог будет A+B+CA+B50.