Докажите, что многочлен 9y^2-6y+2m^2 + 2 принимает только положительные значения.

Рассмотрим функцию f (y) = 9y^2 - 6y+2m^2+2, это парабола, ветви вверх, найдем y0 координату вершины

y0 = - (b^2-4ac) / 4a = - (36-4*9 (2m^2+2)) / 36 = - (36-72 (m^2+1)) / 36 = - (1-2 (m^2+1)) = - 1+2 (m^2+1)

Легко видеть, что (m^2+1) > = 1 для любых m, тогда 2 (m^2+1) >=2, откуда и 2 (m^2+1) - 1 > = 1. Следовательно, для любых m координата y вершины параболы f (y) > 0, откуда следует что f (y) принимает только положительные значения при любых m