Пенсионерки на одной из планет системы Альфа Центавра любят раскрашивать клетки досок 2016*2016 золотыми и серебряными красками. Однажды оказалось, что у всех раcкрашенных в один из дней досок в каждом квадрате 3*3 было ровно по A золотых клеток, а в каждом прямоугольнике 2*4 или 4*2 - ровно по Z золотых клеток. При каких A и Z это возможно?

Доска со сторонами 2016 на 2016 имеет 2016*2016=4 064 256 клеток. В ней поместится 3 х3 квадратов 4 064 256 / (3*3) = 451 584 = (2^10) * (3^2) * (7^2) и

может поместится 2 х4 прямоугольников 4 064 256 / (2*4) = 508 032=

= (2^7) * (3^4) * (7^2). В каждом квадрате А золотых клеток значит всего в квадратах может быть А * (2^10) (3^2) * (7^2), при этом Z золотых клеток в прямоугольнике дают Z * (2^7) * (3^4) * (7^2). Получаем уравнение

А (2^10) (3^2) (7^2) = Z (2^7) (3^4) (7^2) после сокращения получим

8A=9Z отсюда А=9 Z=8 при других значениях A и Z c условием, что A<=9 и Z<=8 равенство не получается. Все клетки выходит закрашены)