Натуральные числа 8n+1. и 5n+2 делятся на натуральное число m не равен 1. найти m.

Если число 8n + 1 делится на m, то его можно представить в виде:

8n + 1 = km, где k ∈ N

Если число 5n + 2 делится на m, то его можно представить в виде:

5n + 2 = tm, где t ∈ N

Получилось два равенства:

8n + 1 = km (1)

5n + 2 = tm (2)

Как при решении систем уравнений методом сложения выполним следующее: первое умножим на 5, второе умножим на 8:

40n + 5 = 5km

40n + 16 = 8tm

Теперь вычтем из одного равенства второе:

40n + 5 - (40n + 16) = 5km - 8tm

5 - 16 = 5km - 8tm

8tm - 5km = 11

m (8t - 5k) = 11

Произведение двух чисел m и (8t - 5k) равно 11. Но число 11 - простое.

Его в виде произведения можно представить только единственным способом:

11 · 1

m (8t - 5k) = 11 · 1

Тогда или m = 1, или m = 11.

В условии сказано, что число m ≠ 1, тогда m = 11.

Ответ: m = 11.