Докажите что не существует рационального числа квадрат которого равен 17

Нам нужно доказать, что √17 является иррациональным числом.

Пусть оно является рациональным числом.

Тогда его можно представить в виде m/n, где m ∈ Z, n ∈ N и дробь несократимая.

Возведя в квадрат, получаем, что 17 = m²/n²

Тогда 17n² = m²

Чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы m ⋮ 17 тогда и n ⋮ 17, иначе данное равенство будет неверным, т. к. 17 - простое число.

Тогда дробь m/n будет сократимой, т. к. и числитель, и знаменатель кратны 17. Но это невозможно, поэтому дробь вида (m/n) ² = 17 не существует ⇒ число 17 не может являться квадратом рационального числа, т. е. √17 - иррациональное число.