В каких случаях невозможно представить выражение в виде квадрата двучлена?

Вот например: почему нельзя p^2 - 2p + 4?

Квадратный трехчлен представим в виде полного квадрата двучлена тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю.

p² - 2p + 4

D = (-2) ² - 4*1*4 = 4 - 16 = - 12 <0

p² - 2p + 4 нельзя представить в виде полного квадрата двучлена.

В таком случае остается возможность выделить полный квадрат двучлена как слагаемое:

p² - 2p + 4 = (p² - 2p + 1) + 3 = (р - 1) ² + 3