Решите уравнение

(cos3xcos5x+|sin3xsin5x|) / sin2x=2cos2x.

Найдите сумму S его решений на промежутке [0,2π).

Область определения

sin 2x = / = 0; 2x = / = pi*k; x = / = pi/2*k

Раскрываем модуль

1) sin 3x*sin 5x < 0, тогда |sin 3x*sin 5x| = - sin 3x*sin 5x

Это может быть в двух случаях, когда синусы имеют разные знаки

Но решать это долго и трудно, проще решить уравнение, а потом подставить корни и проверить.

(cos 3x*cos 5x - sin 3x*sin 5x) / sin 2x = 2cos 2x

cos (3x + 5x) = 2cos 2x*sin 2x

cos 8x = sin 4x

1 - 2sin^2 (4x) = sin (4x)

2sin^2 (4x) + sin (4x) - 1 = 0

(sin (4x) + 1) (2sin (4x) - 1) = 0

a) sin 4x = - 1; 4x = 3pi/2 + 2pi*k; x1 = 3pi/8 + pi/2*k

Проверяем при k = 0

sin 3x = sin (9pi/8) = - 0,3826 < 0

sin 5x = sin (15pi/8) = - 0,3826 < 0

При k = 1

sin 3x = sin (9pi/8 + 3pi/2) = sin (21pi/8) = 0,9238 > 0

sin 5x = sin (15pi/8 + 5pi/2) = sin (35pi/8) = 0,9238 > 0

Этот корень не подходит, потому что sin 3x*sin 5x > 0

b) sin 4x = 1/2;

4x = pi/6 + 2pi*n; x2 = pi/24 + pi/2*n

4x = 5pi/6 + 2pi*n; x3 = 5pi/24 + pi/2*n

Эти корни проверьте сами.

2) sin 3x*sin 5x > 0, тогда |sin 3x*sin 5x| = sin 3x*sin 5x

(cos 3x*cos 5x + sin 3x*sin 5x) / sin 2x = 2cos 2x

cos 2x / sin 2x = 2cos 2x

cos 2x = 2cos 2x*sin 2x

cos 2x * (1 - 2sin 2x) = 0

a) cos 2x = 0; 2x = pi/2 + pi*k; x1 = pi/4 + pi/2*k

b) sin 2x = 1/2;

2x = pi/6 + 2pi*n; x2 = pi/12 + pi*n

2x = 5pi/6 + 2pi*n; x3 = 5pi/12 + pi*n

Эти три корня тоже проверьте сами.

Здесь должно быть sin 3x*sin 5x > 0