докажите, что n^5 - n делится на 30

n^5-n=n (n^4-1) = n (n^2+1) (n^2-1) = (n-1) n (n+1) (n^2+1)

Так как (n-1), n, (n+1) следуют по порядку, то одно из них обязательно кратно 3, и одно из них обязательно кратно 2, то есть их произведение обязательно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 или 5k+3. В остальных случаях один из сомножителей n-1, n или n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30.

Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3

1) n=5k+2

2n^2+1 = (5k+2) ^2+1=25k^2+20k+4+1=5 (5k^2+4k+1) - кратно 5-> все выражение кратно 30

2) n=5n+3

n^2+1 = (5k+3) = 25k^2+30k+9+1=5 (5k^2+6k+2) - кратно 5->все выражение кратно 30.