Сумма первых четырех членов ар. прогрессии равна 124, а сумма ее четрех последних ее членов 156. Сколько членов в этой ар. прогрессии, если извесно, что сумма их равна 350?

A1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a1 + 2d

a4 = a1 + 3d

Складываем: a1 + a2 + a3 + a4 = 4a1 + 6d = 124 = > 2a1 + 3d = 62

Аналогично для 4-х крайних членов:

a (n-3) = a1 + (n-4) d

a (n-2) = a1 + (n-3) d

a (n-1) = a1 + (n-2) d

an = a1 + (n-1) d

складываем: a (n-3) + a (n-2) + a (n-1) + an = 4a1 + 4dn - 10d = 156 = > 2a1 + 2dn - 5d = 78

Получаем систему уравнений:

2a1 + 3d = 62

2a1 + 2dn - 5d = 78

вычтем из 2-го 1-ое

2dn - 8d = 16 dn - 4d = 8 d = 8 / (n-4)

2a1 + 3d = 62 2a1 + 3d = 62 2a1 + 24 (n-4) = 62

a1 = 0.5 (62 - 24 / (n-4)) = 0.5 (62n - 272) / (n-4) = (31n - 136) / (n-4)

Sn = 0.5 (2a1 + (n-1)) n = (a1 + 0.5 (n-1) d) n = ((31n - 136) / (n-4) + 0.5[8n / (n-4) - 8 / (n-4) ]) n = ((31n - 136) / (n-4) + 4n / (n-4) + 4 / (n-4)) n = n (35n - 140) / (n-4) = 350

n (7n - 28) / (n-4) = 70

7n^2 - 28n = 70n - 280

7n^2 - 98n + 280 = 0

n^2 - 14n + 40 = 0

По теореме Виета видим корни:

n1 = 4, n2 = 10

Ну 1-й корень не подходит так как у нас по условию членов минимум восемь. Поэтому ответ 10.

У данной прогрессии 10 членов.