Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической, но если после этого увеличить последнее число на 64, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите эти числа.

Пусть первый член прогрессии равен а. Тогда второй член прогрессии равен в*а, где в - знаменатель прогрессии, тогда третий член прогрессии равен в^2 * а. После увеличения второго члена на 8 имеем арифметическую прогрессию а; (в*а+8) ; в^2 * а. А это значит, что (в*а+8) - а = в^2 * а - (в*а+8) ; или в^2 * а - (в*а+8) - (в*а+8) + а = 0; в^2 * а - 2 в*а - 16 + а = 0; После увеличения третьего члена прогрессии он примет вид в^2 * а + 64 и прогрессия станет геометрической, а это значит, что (в*а+8) / a = (в^2 * а + 64) / (ва+8) ; (в*а+8) ^2 = a * (в^2 * а + 64) ; в*а - 4a + 4 = 0, откуда а = 4 / (4 - в). Подставим это значение в первое уравнение: 4 в^2 + 8 в - 60 = 0; в^2 + 2 в - 15 = 0; решив квадратное уравнение стандартным образом, найдем два значения в и возьмем положительное значение в = 3. Тогда члены начальной прогрессии равны: а1 = 4, а2 = 12, а3 = 36. Ответ: а1 = 4, а2 = 12, а3 = 36