Sin10xsin2x=sin8xsin4x, принадлежащие промежутку (-pi/6; pi/2)

Надо использовать формулу:

sin α*sin β = (1/2) [cos (α-β) - cos (α+β) ].

sin (10x) sin (2x) = sin (8x) sin (4x) (1/2) [cos (10x-2x) - cos (10x+2x) ] = (1/2) [cos (8x-4x) - cos (8x+4x) ]

(1/2) [cos (8x) - cos (12x) ] = (1/2) [cos (4x) - cos (12x) ]

После сокращения получаем:

cos (8x) = cos (4x)

cos (8x) = 2cos² (4x) - 1

Подставив вместо cos (8x) равное ему 2cos² (4x) - 1, получаем квадратное уравнение: 2cos² (4x) - cos (4x) - 1 = 0.

Если заменить cos (4x) = у, получим 2 у² - у - 1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y:

Ищем дискриминант:D = (-1) ^2-4*2 * (-1) = 1-4*2 * (-1) = 1-8 * (-1) = 1 - (-8) = 1+8=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1 = (√9 - (-1)) / (2*2) = (3 - (-1)) / (2*2) = (3+1) / (2*2) = 4 / (2*2) = 4/4=1;

y_2 = (-√ 9 - (-1)) / (2*2) = (-3 - (-1)) / (2*2) = (-3+1) / (2*2) = - 2 / (2*2) = - 2/4=-0,5.

Обратная замена: cos (4x) = 1

4 х = Arc cos 1 = 2πn

x₁ = 2πn / 4 = πn / 2

cos (4x) = - 0,5

4x = Arc cos (-0,5) =