Доказать, что число 11n^3+n делится на 6 при любом n€N.

1) Проверим для n=1:

11*1+1=12, на 6 делится.

2) Предположим, что при n=k предположение верно, т. е. 11k³+k делится на 6.

Докажем, что оно будет верно и при n=k+1:

11 (k+1) ³ + (k+1) = 11k³+33k²+34k+12 = (11k³+k) + 3 (11k²+11k+4)

11k³+k делится на 6 по предположению;

11k²+11k+4: при чётном k (k=2m) 44m²+22m+4 делится на 2

при нечётном k (k=2m+1) 44m²+66m+26 делится на 2

Значит 3 * (11k²+11k+4) делится на 6, отсюда (11k³+k) + 3 (11k²+11k+4) делится на 6, значит, предположение верно, и 11n³+n делится на 6 при любых n∈N