Найдите точку минимума функции

у = (х-5) ² (х+3) - 2

Перепишем функцию в виде многочлена (так проще найти производную)

раскрываем скобки и перемножаем и приводим подобные слагаемые

получаем у=x^3-7x^2-5x+77

находим производную у (штрих) = (x^3-7x^2-5x+77) (штрих) = 3x^2-14x-5

приравниваем к нулю

3x^2-14x-5=0 находим дискриминант D=256 корни х1 = - 2/3 х2=5

Вычисляем у (5) = - 2 (для этого число 5 подставляем в данную функцию)

у (-2/3) получаем значение больше 0

Так как надо найти точку минимума то получаем х=5 (в этой точке значение функции = - 2

Ответ 5

Находим производную

у'=2 (x-5) (x+3) + (x-5) ²

Приравниваем ее к нулю

2 (x-5) (x+3) + (x-5) ²=0

(x-5) (2 (x+3) + (x-5)) = 0

(x-5) (2x+6+x-5) = 0

(x-5) (3x+1) = 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0

1) x-5=0 x₁=5 2) 3x+1=0 x₂=-1/3

Определяем знак производной:

(-бес-ть; - 1/3) у'>0

(-1/3; 5) y'<0

(5; +бес-ть) y'>0

Следовательно, в - 1/3 максимум, в 5 минимум.

Находим у

у = (х-5) ² (х+3) - 2 = (5-5) ² (5+3) - 2=-2

Точка минимума (5; -2)