Найдите все натуральные числа, при которых n^2+5n+1 - точный квадрат.

n²+5n+1=m².

Перепишем это уравнение в виде

(2n+5-2m) (2n+5+2m) = 21 (проверяется раскрытием скобок)

Значит 2n+5-2m=1, 2n+5+2m=21, откуда n=3, m=5

или 2n+5-2m=3, 2n+5+2m=7, откуда n=0, что не является натуральным.

Других вариантов представить 21 в виде произведения двух натуральных чисел нет, поэтому, ответ: n=3.